Varianz - Formel und Beispiel

Was ist Varianz

Die Definition von Varianz: Varianz ist ein Maß für die Variabilität der Ergebnisse unserer Stichprobe, wie stark sie vom Mittelwert abweichen. Das Konzept der Varianz ist am wichtigsten, da es die Grundlage für statistische Signifikanztests wie den t-Test und die Varianzanalyse, ANOVA, bildet.

Die Formel für die Varianz

Die Varianzformel lautet:
$$s^2 ={\sum{({X}-{\bar{X})}}^2 \over {n-1}}$$ Wir lesen Folgendes: Die Varianz ist die Summe jeder Punktzahl aus dem quadratischen Mittelwert über die Stichprobengröße minus 1 (n-1). Eine andere Art, dies auszudrücken, ist: Um die Varianz zu finden, subtrahieren wir jeden Wert vom Mittelwert und quadrieren dann diese Differenz. Dann addieren wir alle diese quadrierten Differenzen und dividieren durch die Anzahl der Punkte minus 1.

Der Mittelwert - Formel

Was ist der Mittelwert? Der Mittelwert oder Durchschnitt gibt einen Durchschnitt einer Reihe von Zahlen an. Zum Beispiel das durchschnittliche Körpergewicht meiner Freunde. Die Formel zur Berechnung des Mittelwertes lautet $$\bar{X} ={\sum{X} \over{n}}$$ X mit dem Strich darüber lesen wir: X bar (eks bar). Es geht um den Mittelwert, den Durchschnitt der Punktzahlen in unserer Stichprobe. X steht für Punktzahl. Den griechischen Großbuchstaben lesen wir: Sigma. Es steht für die Summe der Punkte. Das n lesen wir: n. Es steht für die Anzahl der Punkte in unserer Stichprobe.

Varianz - Praxisbeispiel

Ein Experimentator wollte wissen, wie groß die Schwankungen in der Nahrungsmenge sind, die junge Ratten fressen. Er wählte zufällig 6 Ratten aus der Rattenkolonie in seinem Labor aus. Er wog die Nahrung, die jeder in 24 Stunden gegessen hatte, in Gramm. Hier sind die Daten. Das Symbol für jede Punktzahl ist X.

X 34 35 39 30 3940


Wenn wir uns die obige Varianzformel ansehen, beginnen wir damit, den Mittelwert, den Durchschnitt, zu finden. Wir addieren alle Punkte und dividieren durch die Anzahl der Punkte. Das Symbol für die Anzahl der Punkte ist n. In diesem Fall ist n 6. Die Summe der Punkte ist 217 . Jetzt teilen wir dies durch 6, das n, und wir finden den Mittelwert 36,17.

Um die Varianz zu berechnen, müssen wir jeden Wert vom Mittelwert $$X-\bar{X}$$ subtrahieren und dann quadrieren $$(X-\bar{X})^2$$ Wir summieren dann diese quadrierten Abweichungen $ $\sum{(X-\bar{X})^2}$$ Wichtig! Dies ist die Summe der Squired-Abweichungen jeder Wunde vom Mittelwert.
Es ist der SS-Term in der ANOVA-Übersichtstabelle!


und dann durch n dividieren, die Anzahl der Ergebnisse, $${\sum{(X-\bar{X}) ^2}}\over{n-1}$$ Das ist die Varianz $$s^2 ={\sum{({X}-{\bar{X})}}^2 \over {n-1}}$$
Hier sind die Berechnungen
$$X-\bar{X}$$ -2.17 -1.17 2.83 -6.17 2.83 3.83
$$(X-\bar{X})^2$$ 4,7089 1,3689 8.0089 38.0689 8.0089 14.6689

$${\sum{({X}-{\bar{X})}}^2}$$ 74,8334

ZUSAMMENFASSUNG DER OBEN GENANNTEN BERECHNUNGEN
X$X-\bar{X}$$(X-\bar{X})^2$
34
35
39
30
39
40
-2,17
-1,17
2,83
-6,17
2,83
3,83
4,7089
1,3689
8,0089
38,0689
8,0089
14,6689
ΣΧ=217
$\bar{X}=36,17$
$\sum{(X-\bar{X})^2}=74,8334 $.


Jetzt setzen wir die berechneten Werte oben in die Varianzformel ein.


$$s^2 ={\sum{({X}-{\bar{X})}}^2 \over {n-1}}$$
$s^2 ={74,8334 \over {6-1}}=12,47$ Dies ist die Varianz unserer Daten.
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